Question

14．已知a＞0，命题p：|a-m|＜$\frac{1}{2}$，命题q：椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+y²=1的离心率e满足e∈（${\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}}$）．
（1）若q是真命题，求实数a取值范围；
（2）若p是q的充分条件，且p不是q的必要条件，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的标准方程及其性质，需要分类讨论，即可求出a的范围，
（2）根据p是q的充分条件，且p不是q的必要条件．得到关于m的不等式组，解得即可．

解答 解：（1）当a＞1时，∵${e^2}=1-\frac{1}{a^2}，\frac{3}{4}＜{e^2}＜\frac{8}{9}$-，∴$\frac{1}{9}＜\frac{1}{a^2}＜\frac{1}{4}$，∴2＜a＜3，
当0＜a＜1时，∵e²=1-a²，∴$\frac{3}{4}$＜e²＜$\frac{8}{9}$，∴$\frac{3}{4}$＜1-a²＜$\frac{8}{9}$，∴$\frac{1}{9}$＜a²＜$\frac{1}{4}$，∴$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$，
综上所述$a∈（{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}）∪（{2，3}）$
（2）∵$|{a-m}|＜\frac{1}{2}$，∴$m-\frac{1}{2}＜a＜m+\frac{1}{2}$，则题意可知$\left\{{\begin{array}{l}{m-\frac{1}{2}≥\frac{1}{3}}\\{m+\frac{1}{2}≤\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{m-\frac{1}{2}≥2}\\{m+\frac{1}{2}≤3}\end{array}}\right.$，解得m∈ϕ或$m=\frac{5}{2}$，经检验，$m=\frac{5}{2}$满足题意，
综上$m=\frac{5}{2}$

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．