在平面直角坐标系xOy中.以坐标原点O为极点.x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ.θ∈[0.2π)．(1)求曲线C的直角坐标方程,(2)在曲线C上求一点D.使它到直线l:$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=3t+2}\end{array}\right.$.的距离最短.并求出点D的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

12．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=3t+2}\end{array}\right.$，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．

分析（I）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$可把圆C的极坐标方程化为普通方程．
（II）消去参数把直线l的参数方程化为普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，得出直线与圆的位置关系即可得出．

解答解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ²=2ρsinθ，化为x²+y²-2y=0，配方为x²+（y-1）²=1．
（2）曲线C的圆心C（0，1），半径r=1．
直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=3t+2}\end{array}\right.$，（t为参数，t∈R）化为普通方程：$\sqrt{3}x$-y-1=0，
可得圆心C到直线l的距离d=$\frac{|0-1-1|}{2}$=1=0，
∴直线l与圆C相切，其切点即为所求．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2y=0}\\{\sqrt{3}x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得D$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$．

点评本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆相切问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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