Question

已知函数f（x）=-

1

2

+

1

2x+1

． 
（1）证明：函数f（x）是减函数；   
（2）证明：函数f（x）是奇函数．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数单调性的定义进行证明；
（2）利用函数的奇偶性进行证明．

解答： 解：（1）在定义域中任取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=-

1

2

+

1

2x1+1

-（-

1

2

+

1

2x2+1

）
=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
因为x₁＜x₂
所有2x2-2x1＞0，(2x1+1)(2x2+1)＞0，
所有f（x₁）-f（x₂）＞0，
故函数f（x）是减函数；
（2）因为f（x）的定义域是R，
又因为f（-x）=-

1

2

+

1

2-x+1

=

(2x+1)-2

2(2x+1)

=

1

2

-

1

2x+1

=-f（x），
故函数f（x）是奇函数．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题．