Question

2．已知数列{a_n}的前n项和S_n=（$\frac{3}{2}$）^n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当b_n=log${\;}_{\frac{3}{2}}$（3a_n+1）时，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=（$\frac{3}{2}$）^n-1．当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）b_n=log${\;}_{\frac{3}{2}}$（3a_n+1）=n，可得$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=（$\frac{3}{2}$）^n-1．当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{3}{2}$）^n-1-$（\frac{3}{2}）^{n-2}$=$\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-2}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）b_n=log${\;}_{\frac{3}{2}}$（3a_n+1）=n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+$$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了递推关系应用、数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．