Question

7．已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|，若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）对任意a，b∈R恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 先分离出含有a，b的代数式，即$\frac{1}{|a|}$（|a+b|+|a-b|）≥f（x）恒成立，问题转化为求左式的最小值，然后利用绝对值的几何意义得答案．

解答 解：不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）对任意a，b∈R恒成立，即$\frac{1}{|a|}$（|a+b|+|a-b|）≥f（x）恒成立，
故f（x）小于等于$\frac{1}{|a|}$（|a+b|+|a-b|）的最小值，
∵$\frac{1}{|a|}$（|a+b|+|a-b|）≥$\frac{1}{|a|}$（|a+b+a-b|）=2，当且仅当（a+b）（a-b）≥0时取等号，
∴$\frac{1}{|a|}$（|a+b|+|a-b|）的最小值等于2．
则|x-1|+|x-2|≤2．
左边的几何意义为数轴上的动点x与两定点1，2的距离和，如图，

当x∈[$\frac{1}{2}，\frac{5}{2}$]时，满足|x-1|+|x-2|≤2．
故x的取值范围是[$\frac{1}{2}，\frac{5}{2}$]．

点评 本题主要考查了不等式的恒成立问题，通常采用分离参数的方法解决，考查了绝对值的几何意义，属于中档题．