题目内容
已知函数f（x）=cos2x-sin2x+2
sinxcosx．
（Ⅰ）求f（
）的值和函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间及最大值，并指出取得最大值时x的取值集合．
| 3 |
（Ⅰ）求f（
| π |
| 12 |
（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间及最大值，并指出取得最大值时x的取值集合．
考点：三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的图像与性质
分析：（Ⅰ）利用二倍角公式，平方关系，两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后直接求出最小正周期，
（Ⅱ）根据三角函数的图象和性质，即可求函数f（x）的最大值，单调增区间．
（Ⅱ）根据三角函数的图象和性质，即可求函数f（x）的最大值，单调增区间．
解答：
解：（Ⅰ）f（x）=cos2x-sin2x+2
sinxcosx=
sin2x+cos2x=2sin（2x+
）；
则函数的周期T=
=π；函数的最小正周期为π，
f（
）=2sin（2×
+
）=2sin
=2×
=
；
（Ⅱ）当sin（2x+
）=1，即2x+
=
+2kπ，k∈Z，即x=
+kπ，此时函数取得最大值ymax=2；
函数的最大值为2；最大值时x的取值集合为{x|x=
+kπ，k∈Z}．
③由
+2kπ≤2x+
≤2kπ+
，k∈Z，即
+kπ≤x≤
+kπ，k∈Z，
∴函数的单调递减区间为：[
+kπ，
+kπ]，k∈Z．
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
则函数的周期T=
| 2π |
| 2 |
f（
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）当sin（2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
函数的最大值为2；最大值时x的取值集合为{x|x=
| π |
| 6 |
③由
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴函数的单调递减区间为：[
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
点评：本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度．
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