Question

已知a为正常数，点A，B的坐标分别是（-a，0），（a，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-

1

a2

（1）求点M的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
（2）当a=

2

时，过点F（1，0）作直线l∥AM，记l与（1）中轨迹相交于两点P，Q，动直线AM与y轴交与点N，证明

|PQ|

|AM||AN|

为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设动点M（x，y），x≠±a，kAM=

y

x+a

，k_BN=

y

x-a

，由此能求出动点M的轨迹方程及该方程表示的曲线．
（2）当a=

2

时，A（-

2

，0），动点M的轨迹方程是

x2

2

+y2=1，x≠±

2

，设直线AM的方程为y=k（x+

2

），由

y=k(x+ 2 ) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4

2

k2x+4k2-2=0，由此求出|AM|•|AN|=

4(1+k2)

1+2k2

，又直线PQ的方程为y=k（x-1），由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，由此求出|PQ|=

2 2 (1+k2)

1+2k2

，从而能证明

|PQ|

|AM|•|AN|

为定值．

解答： （1）解：设动点M（x，y），x≠±a，
由已知知直线AM，BN的斜率分别是kAM=

y

x+a

，k_BN=

y

x-a

，
∴

y

x+a

•

y

x-a

=-

1

a2

，
整理，得动点M的轨迹方程为：

x2

a2

+y2=1，x≠±a．
当0＜a＜1时，方程所表示的曲线是中心在原点，焦点在y轴上，半长轴为1，
半短轴为a的椭圆，不含长轴的两个端点；
当a=1时，方程所表示的曲线是中心在原点，以1为半径的圆，不含（±1，0）；
a＞1时，方程所表示的曲线是中心在原点，焦点在x轴上，半长轴为a，
半短轴为1的椭圆，不含长轴的两个端点．
（2）证明：当a=

2

时，A（-

2

，0），动点M的轨迹方程是

x2

2

+y2=1，x≠±

2

，
设直线AM的方程为y=k（x+

2

），k∈R，且k≠0，
令x=0，得y=

2

k，∴N（0，

2

k），
由

y=k(x+ 2 ) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4

2

k2x+4k2-2=0，
即（x+

2

）（1+2k²）x+2

2

k2-

2

=0，解得x=-

2

，或x=

2 -2 2 k2

1+2k2

，
又x=

2 -2 2 k2

1+2k2

时，y=k（

2 -2 2 k2

1+2k2

+

2

）=

2 2 k

1+2k2

，
∴M（

2 -2 2 k2

1+2k2

，

2 2 k

1+2k2

），
∴|AM|•|AN|=

2 2 • 1+k2

1+2k2

•

2

1+k2

=

4(1+k2)

1+2k2

，
又由已知得直线PQ的方程为y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个根，
∴|x₁-x₂|=

(-4k2)2-4(1+2k2)(2k2-2)

1+2k2

=

2 2 1+k2

1+2k2

，
|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

2 2 (1+k2)

1+2k2

，
∴

|PQ|

|AM|•|AN|

=

2 2 (1+k2) 1+2k2

4(1+k2) 1+2k2

=

2

2

．
∴

|PQ|

|AM||AN|

为定值

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查

|PQ|

|AM||AN|

为定值的证明，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．