Question

已知椭圆的右焦点为，离心率，是椭圆上的两动点，动点满足， （其中实数为常数）．

（1）求椭圆标准方程；

（2）当，且直线过点且垂直于轴时，求过三点的外接圆方程；

（3）若直线与的斜率乘积，问是否存在常数，使得动点满足，其中，若存在求出的值，若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

解：（I）有题设可知：∴     又，∴，∴椭圆标准方程为

（2）由题意可求

设圆的方程，将三点代入求出，所以圆的方程是

（3）设P(x，y)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，                        

则由得

(x，y)＝(x₁，y₁)＋ (x₂，y₂)＝(x₁＋x₂，y₁＋y₂)，即x＝x₁＋x₂，y＝y₁＋y₂. 因为点A、B在椭圆x²＋2y²＝2上，

所以x＋2y＝2，x＋2y＝2，故x²＋2y²＝(x＋x＋2x₁x₂)＋2(y＋y＋2y₁y₂)＝(x＋2y)＋ (x＋2y)＋2 (x₁x₂＋2y₁y₂)

＝2＋2+2 (x₁x₂＋2y₁ y₂)．

设k_OA，k_OB分别为直线OA，OB的斜率，

由题设条件知k_OA·k_OB＝＝－，因此x₁x₂＋2y₁y₂＝0，   所以x²＋2y²＝2＋2. 即所以P点是椭圆上的点，

设该椭圆的左、右焦点为，，则由椭圆的定义为定值．

所以4 ，,因此两焦点的坐标为 (－，0)，

使得