Question

【题目】设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列. 记.

（1）求证: 数列为等比数列；

（2）已知数列的前项分别为.

①求数列和的通项公式；

②是否存在元素均为正整数的集合，使得数列等差数列？证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②不存在满足题意的集合.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用等比数列的定义推证；（2）借助题设运用等差数列及分析推证法探求.

试题解析：

（1）证明:

依题意，,

从而, 又,所以是首项为，公比为的等比数列 .

（2）① 由（1）得，等比数列的前项为, 则,解得, 从而, 且, 解得,所以.

②假设存在满足题意的集合,不妨设, 且等差数列, 则, 因为, 所以 ① 若, 则,结合①得, , 则, 化简得,

, ② 因为, 不难知,这与②矛盾，所以只能,同理, 所以为数列的连续三项，从而,即

,又.故,又，故， 这与矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合.