Question

已知函数f（x）=2sinxsin（

π

3

-x）+

3

sinxcosx+cos²x
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若0≤x≤

π

2

，求函数f（x）的最值及取得最值时相应x的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换对y=f（x）化简可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），利用正弦函数的周期性与单调性即可求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）0≤x≤

π

2

⇒

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，利用正弦函数的单调性与闭区间上的最值即可求得答案．

解答： 解：（1）f（x）=2sinxsin（

π

3

-x）+

3

sinxcosx+cos²x
=2sinx（

3

2

cosx-

1

2

sinx）+

3

2

sin2x+cos²x
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

）…3分
T=

2π

2

=π…4分
2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
故函数f（x）的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z；…7分
（2）因为0≤x≤

π

2

，得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，…8分
2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）_max=2；
2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

时，f（x）_min=-1；
所以，x=

π

6

时，f（x）_max=2；x=

π

2

时，f（x）_min=-1…12分

点评：本题考查三角恒等变换的应用，考查正弦函数的单调性、周期性与闭区间上的最值，考查转化思想与运算能力，属于中档题．