Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（Ⅰ）求证：B₁D₁∥平面C₁BD；
（Ⅱ）求证：A₁C⊥平面C₁BD；
（Ⅲ）求二面角B-C₁D-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根据正方体的几何特征可得B₁D₁∥BD，结合线面平行的判定定理，即可得到B₁D₁∥平面C₁BD；
（Ⅱ）连接AC，交BD于O，则BD⊥AC，结合A₁A⊥BD，由线面垂直的判定定理得BD⊥平面A₁AC，进而BD⊥A₁C，连接C₁O，可证得A₁C⊥C₁O，再利用线面垂直的判定定理即可得到A₁C⊥平面C₁BD；
（Ⅲ）取DC₁的中点E，连接BE，CD．根据二面角的定义，可判断出∠BEC为二面角B-C₁D-C的平面角，解△BEC即可求出二面角B-C₁D-C的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵B₁D₁∥BD，
又BD?平面C₁BD，B₁D₁?平面C₁BD，∴B₁D₁∥平面C₁BD．…（2分）
（Ⅱ）连接AC，交BD于O，则BD⊥AC．
又A₁A⊥BD，∴BD⊥平面A₁AC．∵A₁C?平面A₁AC，BD⊥A₁C．
连接C₁O，在矩形A₁C₁CA中，设A₁C交C₁O于M．
由

A1A

AC

=

OC

CC1

，知∠ACA₁=∠CC₁O．∴∠C1OC+A1CO=∠C1OC+∠CC1O=

π

2

，∴∠CMO=

π

2

，∴A₁C⊥C₁O．
又CO∩BD=0，CO?平面C₁BD，BD?平面C₁BD，∴A₁C⊥平面C₁BD．…（7分）
（Ⅲ）取DC₁的中点E，连接BE，CE．
∵BD=BC₁，∴BE⊥DC₁．∵CD=CC₁，∴CE⊥DC₁．∠BEC为二面角B-C₁D-C的平面角．
设正方体的棱长为a，则CE=

2

2

a．
又由BD=BC1=DC1=

2

a，得BE=

6

2

a．
在△BEC中，由余弦定理，得cos∠BEC=

BE2+CE2-BC2

2BE•CE

=

3

3

．
所以所求二面角的余弦值为

3

3

．…（12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是根据正方体的几何特征得B₁D₁∥BD，（II）的关键是得到BD⊥A₁C，A₁C⊥C₁O，（III）的关键是确定∠BEC为二面角B-C₁D-C的平面角．