Question

20．已知函数f（x）=3^x-$\frac{1}{{{3^{|x|}}}}$．
（1）若f（x）=0，求x的取值集合；
（2）若对于t∈[1，3]时，不等式3^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）=3^x-$\frac{1}{{{3^{|x|}}}}$，分x＜0与x≥0讨论，由f（x）=0，即可求得x的取值集合；
（2）当t∈[1，3]时，f（t）=3^t-$\frac{1}{{3}^{t}}$＞0，于是不等式3^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立可化为m≥-3^2t-1恒成立，利用指数函数的单调性即可求得实数m的取值范围．

解答 解：（1）当x＜0时，f（x）=3^x-3^x=0恒成立；
当x≥0时，f（x）=3^x-$\frac{1}{{3}^{x}}$=0，解得：x=0；
综上所述，x的取值集合为{x|x≤0}．
（2）∵t∈[1，3]，∴f（t）=3^t-$\frac{1}{{3}^{t}}$＞0．
∴3^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立可化为：
3^t（3^2t-$\frac{1}{{3}^{2t}}$）+m（3^t-$\frac{1}{{3}^{t}}$）≥0恒成立，
即3^t（3^t+$\frac{1}{{3}^{t}}$＞）+m≥0，即m≥-3^2t-1恒成立．
令g（t）=-3^2t-1，则g（t）在[1，3]上递减，∴g（x）_max=g（1）=-10．
∴所求实数m的取值范围是[-10，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与函数方程思想的综合运用，突出指数函数单调性与分离参数法的应用，属于难题．