Question

如图，已知点A（-2，0）和圆O：x²+y²=4，AB是圆O的直经，从左到右M、O和N依次是AB的四等分点，P（异于A、B）是圆O上的动点，PD⊥AB交AB于D，

PE

=λ

ED

，直线PA与BE交于C，|CM|+|CN|为定值．
（1）求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；
（2）一直线L过定点S（4，0）与点C的轨迹相交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q₁，连接Q₁与R两点连线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）根据，|CM|+|CN|为定值，建立条件关系即可求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；
（2）根据直线和椭圆的位置关系，转化为一元二次方程问题即可．

解答： 解：（1）易得B（2，0），M（-1，0），N（1，0），
设P（x₀，y₀），C（x，y），
则E（x₀，

y0

1+λ

），
直线PA与BE交于C，
故x≠±2，

y

x+2

=

y0

x0+2

①
且

y

x-2

=

y0 1+λ

x0-2

，②
①②相乘得

y2

x2-4

=

y02 1+λ

x02-4

，
又因为点P（异于A，B）是圆O上的动点，故

y2

x2-4

=-

1

1+λ

，
即

x2

4

+

y2

4 1+λ

=1，要使|CM|+|CN|为定值，
则4-

4

1+λ

=1，
解得λ=

1

3

，
 此时

x2

4

+

y2

3

=1，（x≠±2），
即λ=

1

3

时，点C的轨迹曲线E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，（x≠±2），
（2）联立

x=my+4 x2 4 + y2 3 =1

，消x得（3m²+4）y²+24my+36=0，
判别式△=（24m）²-4×36（3m²+4）=144（m²-4）＞0，即m²＞4
设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂，则Q′（x₁，-y₁），
由韦达定理有

y1+y2= 24m 3m2+4 ① y1y2= 36 3m2+4 ②

直线RQ的方程为y=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)-y1，
令y=0，得x=

x1y2+x2y1

y1+y2

=

(my1+4)y2+y1(my2+4)

y1+y2

=

2my1y2+4(y1+y2)

y1+y2

将①②代人上式得x=1，
又S△TRQ=

1

2

|ST|•|y1-y2|=

3

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

3

2

(- 24m 3m2+4 )2- 4×36 3m2+4

=18•

m2-4

3m2+4

=

18 m2-4

3(m2-4)+16

=

18

3 m2-4 + 16 m2-4

≤

3 3

4

当m2=

28

3

时取得．

点评：本题主要考查直线和圆以及直线和圆锥曲线的位置关系，考查学生的运算能力．