Question

16．实数x₁，x₂，x₃，…x₁₀₀₈…x₂₀₁₅，满足0≤x₁≤x₂≤x₃≤…≤x₁₀₀₈≤…≤x₂₀₁₅≤13如果它们的平方组成公差$d=\frac{72}{1007}$的等差数列，当|x₁-x₂|+|x₂-x₃|+…+|x₂₀₁₄-x₂₀₁₅|取最小值时，x₁₀₀₈=$\sqrt{97}$．

Answer 1

分析 由题意，|x₁-x₂|+|x₂-x₃|+…+|x₂₀₁₄-x₂₀₁₅|=x₂-x₁+x₃-x₂+…+x₂₀₁₅-x₂₀₁₄=x₂₀₁₅-x₁，利用平方组成公差$d=\frac{72}{1007}$的等差数列，可得x₂₀₁₅²=x₁²+2014×$\frac{72}{1007}$=x₁²+144≤169，0≤x₁≤5，确定x₁=5，x₂₀₁₅=13时，取得最小值8，即可求出x₁₀₀₈．

解答 解：由题意，|x₁-x₂|+|x₂-x₃|+…+|x₂₀₁₄-x₂₀₁₅|=x₂-x₁+x₃-x₂+…+x₂₀₁₅-x₂₀₁₄=x₂₀₁₅-x₁，
∵平方组成公差$d=\frac{72}{1007}$的等差数列，
∴x₂₀₁₅²=x₁²+2014×$\frac{72}{1007}$=x₁²+144≤169，
∴0≤x₁≤5，
x₂₀₁₅-x₁=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+144}$-x₁=$\frac{144}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+144}+{x}_{1}}$
在x₁=5，x₂₀₁₅=13时，取得最小值8
∴x₁₀₀₈²=x₁²+1007×$\frac{72}{1007}$=97，
∴x₁₀₀₈=$\sqrt{97}$．
故答案为：$\sqrt{97}$．

点评 本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，确定x₁=5，x₂₀₁₅=13时，取得最小值是关键．