Question

4．已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且a²-ab+b²=c²．
（1）求角C；
（2）若△ABC为锐角三角形，求$\sqrt{3}$sinBcosB+cos²B的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理计算cosC即可得出C；
（2）先求出B的范围，再利用二倍角公式与和角公式化简$\sqrt{3}$sinBcosB+cos²B，根据正弦函数的性质得出范围．

解答 解：（1）∵a²-ab+b²=c²，∴a²+b²-c²=ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）$\sqrt{3}$sinBcosB+cos²B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B+$\frac{1}{2}$cos2B$+\frac{1}{2}$=sin（2B+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵△ABC为锐角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜B＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-B＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，∴$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}$＜2B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴0＜sin（2B+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$＜$\frac{3}{2}$．
即$\sqrt{3}$sinBcosB+cos²B的取值范围是（0，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了余弦定理，三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．