Question

11．椭圆的两个焦点的坐标分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），且椭圆经过点（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$）
（1）求椭圆标准方程．
（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），结合两点之间距离公式，求出2a，进而求出b，可得椭圆标准方程．
（2）由（1）中椭圆标准方程，可得椭圆长轴长、短轴长、离心率．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
则2a=$\sqrt{（\frac{5}{2}+2）^{2}+（-\frac{3}{2}）^{2}}$+$\sqrt{{（\frac{5}{2}-2）}^{2}+{（-\frac{3}{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
即a=$\sqrt{10}$，
又∵c=2，
∴b²=a²-c²=6，
故椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1，
（2）由（1）得：
椭圆的长轴长：2$\sqrt{10}$，
 短轴长2$\sqrt{6}$，
 离心率e=$\frac{2}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查的知识点是椭圆的简单性质，椭圆的标准方程，难度中档．