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lim
n→∞
(1+
1
3
+
1
3
2
+
…
+
1
3
n
)
=（ ）
A．
5
3
B．
3
2
C．2
D．不存在
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lim
n→∞
(1+
1
3
+
1
3
2
+
…
+
1
3
n
)
=
lim
n→+∞
(
1-
1
3
n
1-
1
3
)=
3
2
，
故选B．
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已知
lim
n→∞
(2n-1)
a
n
=1
，则
lim
n→∞
n
a
n
=
（1）求极限
lim
n→∞
(1-
1
2x
)
x
．
（2）设y=xln（1+x
2
），求y'
对于数列{a
n
}，若定义一种新运算：△a
n
=a
n+1
-a
n
（n∈N
+
），则称{△a
n
}为数列{a
n
}的一阶差分数列；类似地，对正整数k，定义：△
k
a
n
=△
k-1
a
n+1
-△
k-1
a
n
=△（△
k-1
a
n
），则称{△
k
a
n
}为数列{a
n
}的k阶差分数列．
（1）若数列{a
n
}的通项公式为a
n
=5n
2
+3n（n∈N
+
），则{△a
n
}，{△
2
a
n
}是什么数列？
（2）若数列{a
n
}的首项a
1
=1，且满足△
2
a
n
-△a
n+1
+a
n
=-2
n
（n∈N
+
），设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，求{a
n
}的通项公式及
lim
n→∞
S
n
+n-2
n•
3
n
的值．
常数
e=
lim
n→∞
(1+
1
n
)
n
=2.718281828459…
，定义函数
f(x)=
e
x
-
e
-x
2
为双曲正弦函数，记为sinhx，定义函数
g(x)=
e
x
+
e
-x
2
为双曲余弦函数，记为coshx．则以下三个命题正确的是
（2）
（2）
．（只需填正确命题序号）
（1）cosh（x+y）=coshx•coshy-sinhx•sinhy；
（2）sinh（x+y）=sinhx•coshy+coshx•sinhy；
（3）（sinhx）
2
-（coshx）
2
=1．
对于数列{a
n
}，若定义一种新运算：△a
n
=a
n+1
-a
n
（n∈N
+
），则称{△a
n
}为数列{a
n
}的一阶差分数列；类似地，对正整数k，定义：△
k
a
n
=△
k-1
a
n+1
-△
k-1
a
n
=△（△
k-1
a
n
），则称{△
k
a
n
}为数列{a
n
}的k阶差分数列．
（1）若数列{a
n
}的通项公式为a
n
=5n
2
+3n（n∈N
+
），则{△a
n
}，{△
2
a
n
}是什么数列？
（2）若数列{a
n
}的首项a
1
=1，且满足△
2
a
n
-△a
n+1
+a
n
=-2
n
（n∈N
+
），设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，求{a
n
}的通项公式及
lim
n→∞
S
n
+n-2
n•
3
n
的值．
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