题目内容

对于数列{an}，若定义一种新运算：△an=an+1-an（n∈N+），则称{△an}为数列{an}的一阶差分数列；类似地，对正整数k，定义：△kan=△k-1an+1-△k-1an=△（△k-1an），则称{△kan}为数列{an}的k阶差分数列．
（1）若数列{an}的通项公式为an=5n2+3n（n∈N+），则{△an}，{△2an}是什么数列？
（2）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n（n∈N+），设数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式及
lim
n→∞
Sn+n-2
n•3n
的值．
（1）∵△an=an+1-an，an=5n2+3n
∴△an=5（n+1）2+3（n+1）-（5n2+3n）=10n+8
∴{△an}是以18 为首项，10为公差的等差数列
∵△2an=△an+1-△an=an+2-an+1-（an+1-an）=20n+26
∴{△2an}是以46为首项，20为公差的等差数列
（2）由△2an-△an+1+an=-2n及△2an=△an+1-△an，
得△an-an=2n，
∴an+1-2an=2n，
∴
an+1
2n+1
-
an
2n
=
1
2

∴数列{{
an
2n
}}是首项为
1
2
，公差为
1
2
的等差数列，
∴
an
2n
=
1
2
+(n-1)×
1
2
，
∴an=n•2n-1．
设Sn=1+2×21+…+n×2n-1①
则2Sn=2+2×22+…+n×2n②
①-②：-Sn=1+2+22+…+2n-1-n×2n
∴-Sn=2n-1 -n×2n
∴Sn=-2n+1 +n×2n
∴
lim
n→∞
Sn+n-2
n•3n
=
lim
n→∞
-2n+1 +n×2n+n-2
n•3n
=
lim
n→∞
-2n+n×2n+n-1
n•3n
=0
练习册系列答案
相关题目
对于数列{an}，若满足a1，
a2
a1
，
a3
a2
，…，
an
an-1
，…是首项为1，公比为2的等比数列，则a100等于（　　）
A、2100
B、299
C、25050
D、24950
定义在R上的函数f（x）满足f（x）=
log2(1-x)，x≤0
f(x-1)-f(x-2)，x＞0

（1）计算：f（-1）、f（0）、f（1）、f（2），并求出f（n+3）与f（n），n∈N*满足的关系式；
（2）对于数列{an}，若存在正整数T，使得an+T=an，则称数列{an}为周期数列，T为数列的周期，令an=f(n) ， n∈N*，证明：{an}为周期数列，指出它的周期T，并求a2012的值．
（2010•重庆一模）对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称{an}为有界数列．
（Ⅰ）判断an=2+sinn是否为有界数列并说明理由．
（Ⅱ）是否存在正项等比数列{an}，使得{an}的前n项和Sn构成的数列{Sn}是有界数列？若存在，求数列{an}的公比q的取值范围；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）判断数列an=
1
3
+
1
5
+
1
7
+…+
1
2n-1
(n≥2)是否为有界数列，并证明．
对于数列{an}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N*，都有：an+T=an成立，则称数列{an}是以T为周期的周期数列．
（1）记Sn=a1+a2+a3+…+an，若{an}满足an+2=an+1-an，且S2=1007，S3=2010，求证：数列{an}是以6为周期的周期数列，并求S2009；
（2）若{an}满足a1=p∈[0， 
1
2
)，且an+1=-2an2+2an，试判断{an}是否为周期数列，且说明理由；
（3）由（1）得数列{an}，又设数列{bn}，其中bn=an+2n+
2009
2n
，问是否存在最小的自然数n（n∈N*），使得对一切自然数m≥n，都有bm＞2009？请说明理由．
（1）对于数列{an}，若存在常数T≥0，使得对于任意n∈N*，均有|an|≤T，则称{an}为有界数列．以下数列{an}为有界数列的是
 
；（写出满足条件的所有序号）
①an=n-2②an=
1
n+2
③
an
an+1
=2，a1=1
（2）数列{an}为有界数列，且满足an+1=-an2+2an，a1=t（t＞0），则实数t的取值范围为
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网