题目内容
对于数列{an}，若定义一种新运算：△an=an+1-an（n∈N+），则称{△an}为数列{an}的一阶差分数列；类似地，对正整数k，定义：△kan=△k-1an+1-△k-1an=△（△k-1an），则称{△kan}为数列{an}的k阶差分数列．
（1）若数列{an}的通项公式为an=5n2+3n（n∈N+），则{△an}，{△2an}是什么数列？
（2）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n（n∈N+），设数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式及
的值．
（1）若数列{an}的通项公式为an=5n2+3n（n∈N+），则{△an}，{△2an}是什么数列？
（2）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n（n∈N+），设数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式及
| lim |
| n→∞ |
| Sn+n-2 |
| n•3n |
分析：（1）利用：△an=an+1-an（n∈N+），∵△2an=△an+1-△an=an+2-an+1-（an+1-an）=，即可求得数列通项，从而可得结论；
（2）由△2an-△an+1+an=-2n及△2an=△an+1-△an，可得△an-an=2n，即可得an+1-2an=2n，，构造可得
-
=
，结合等差数列的通项可求
，进而可求{an}的通项公式，从而可求数列{an}的前n项和为Sn，进而可求极限．
（2）由△2an-△an+1+an=-2n及△2an=△an+1-△an，可得△an-an=2n，即可得an+1-2an=2n，，构造可得
| an+1 |
| 2n+1 |
| an |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| an |
| 2n |
解答：解：（1）∵△an=an+1-an，an=5n2+3n
∴△an=5（n+1）2+3（n+1）-（5n2+3n）=10n+8
∴{△an}是以18 为首项，10为公差的等差数列
∵△2an=△an+1-△an=an+2-an+1-（an+1-an）=20n+26
∴{△2an}是以46为首项，20为公差的等差数列
（2）由△2an-△an+1+an=-2n及△2an=△an+1-△an，
得△an-an=2n，
∴an+1-2an=2n，
∴
-
=
∴数列{{
}}是首项为
，公差为
的等差数列，
∴
=
+(n-1)×
，
∴an=n•2n-1．
设Sn=1+2×21+…+n×2n-1①
则2Sn=2+2×22+…+n×2n②
①-②：-Sn=1+2+22+…+2n-1-n×2n
∴-Sn=2n-1 -n×2n
∴Sn=-2n+1 +n×2n
∴
=
=
=0
∴△an=5（n+1）2+3（n+1）-（5n2+3n）=10n+8
∴{△an}是以18 为首项，10为公差的等差数列
∵△2an=△an+1-△an=an+2-an+1-（an+1-an）=20n+26
∴{△2an}是以46为首项，20为公差的等差数列
（2）由△2an-△an+1+an=-2n及△2an=△an+1-△an，
得△an-an=2n，
∴an+1-2an=2n，
∴
| an+1 |
| 2n+1 |
| an |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
∴数列{{
| an |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| an |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴an=n•2n-1．
设Sn=1+2×21+…+n×2n-1①
则2Sn=2+2×22+…+n×2n②
①-②：-Sn=1+2+22+…+2n-1-n×2n
∴-Sn=2n-1 -n×2n
∴Sn=-2n+1 +n×2n
∴
| lim |
| n→∞ |
| Sn+n-2 |
| n•3n |
| lim |
| n→∞ |
| -2n+1 +n×2n+n-2 |
| n•3n |
| lim |
| n→∞ |
| -2n+n×2n+n-1 |
| n•3n |
点评：本题主要考查了由新定义构造等差数列求解数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和，考查极限的求法，综合性较强，有一定难度．
练习册系列答案
相关题目
对于数列{an}，若满足a1，
，
，…，
，…是首项为1，公比为2的等比数列，则a100等于（ ）
| a2 |
| a1 |
| a3 |
| a2 |
| an |
| an-1 |
| A、2100 |
| B、299 |
| C、25050 |
| D、24950 |