题目内容

8．在△ABC中，D是BC的中点，|$\overrightarrow{AD}$|=3，点P在AD上，且满足$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PD}$，则$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=（　　）
A．4B．2C．-2D．-4

分析 由题意可得|$\overrightarrow{PA}$|=$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{AD}$|=1，|$\overrightarrow{PD}$|=2，再由中点的向量表示，可得$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=2$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PD}$，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求值．

解答 解：由|$\overrightarrow{AD}$|=3，点P在AD上，且满足$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PD}$，
可得|$\overrightarrow{PA}$|=$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{AD}$|=1，|$\overrightarrow{PD}$|=2，
由D是BC的中点，可得2$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$，
即有$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=2$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PD}$
=-2|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PD}$|=-2×1×2=-4．
故选D．

点评 本题考查向量的数量积的定义，考查中点的向量表示形式，考查运算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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A．（-∞，$\frac{4}{3}$]∪[$\frac{5}{2}$，+∞）B．（-∞，$\frac{4}{3}$]∪（$\frac{5}{2}$，+∞）C．[$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{2}$]D．[$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{2}$）
3．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，}&{x≥a}\\{-{x}^{2}，}&{x＜a}\end{array}\right.$，a∈R，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）-b有两个零点，则实数a的取值范围为（-∞，-1）．
13．已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．
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A．12B．15C．16D．18
17．求下列函数定义域．
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（2）y=$\frac{1}{1-tanx}$．
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（1）AC⊥BD；  （2）AD⊥CO；  （3）△AOC为正三角形； （4）cos∠ADC=$\frac{3}{4}$；
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其中真命题个数是（1）（5）．

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