Question

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点B是椭圆C的上顶点，点Q在椭圆C上（异于B点）．
（Ⅰ）若椭圆V过点（-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点B，证明：存在k∈R，$\frac{|BP|}{|BQ|}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a和b的关系，将（-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，求得P的横坐标，求得丨BP丨，利用直线垂直的斜率关系求得丨BQ丨，由$\frac{|BP|}{|BQ|}$=$\frac{1}{2}$，根据函数零点的判断即可存在k∈R，$\frac{|BP|}{|BQ|}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a²=2b²，
将点（-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入椭圆方程$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1$，解得：a²=4，b²=2，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
（Ⅱ）由题意的对称性可知：设存在存在k＞0，使得$\frac{|BP|}{|BQ|}$=$\frac{1}{2}$，
由a²=2b²，椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
将直线方程代入椭圆方程，整理得：（1+2k²）x²+4kbx=0，
解得：x_P=-$\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}$，则丨BP丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}$，
由BP⊥BQ，则丨BQ丨=$\sqrt{1+（-\frac{1}{k}）^{2}}$×丨$\frac{4（-\frac{1}{k}）b}{1+2（-\frac{1}{k}）^{2}}$丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4b}{{k}^{2}+2}$，
由$\frac{|BP|}{|BQ|}$=$\frac{1}{2}$．，则2$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4b}{{k}^{2}+2}$，
整理得：2k³-2k²+4k-1=0，
设f（x）=2k³-2k²+4k-1，由f（$\frac{1}{4}$）＜0，f（$\frac{1}{2}$）＞0，
∴函数f（x）存在零点，
∴存在k∈R，$\frac{|BP|}{|BQ|}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，弦长公式，考查函数零点的判断，考查计算能力，属于中档题．