Question

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2（b²+2accos²B）=2a²+2c²-ac．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若S_△ABC=$\sqrt{3}$，求asinA+csinC的最小值．

Answer 1

分析 （I）由余弦定理化简已知可得4cos²B-4cosB+1=0，从而解得cosB=$\frac{1}{2}$，结合范围B∈（0，π），即可解得B的值．
（Ⅱ）利用三角形面积公式可求ac=4，由余弦定理，基本不等式可得b≥2，（当且仅当a=c时等号成立），利用正弦定理可得a≥$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA，c≥$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinC，根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得asinA+csinC≥$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sin²A+sin²C）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，（当且仅当a=c时等号成立），从而得解．

解答 解：（I）∵由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，且2（b²+2accos²B）=2a²+2c²-ac．
∴2（b²+2accos²B）=2（a²+c²）-ac=2（b²+2accosB）-ac．
∴整理可得：4cos²B-4cosB+1=0，
∴解得：cosB=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac=$\sqrt{3}$，
∴ac=4，
∴b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac=4，（当且仅当a=c时等号成立），可得：b≥2，
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$≥$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，可得：a≥$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA，c≥$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinC，（当且仅当a=c时等号成立），
∴asinA+csinC≥$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sin²A+sin²C）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{1-cos2C}{2}$）
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（cos2A+cos2C）
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin$\frac{B}{2}$sin$\frac{A-C}{2}$，（A-C=0）
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-0
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，（当且仅当a=c时等号成立）．
故asinA+csinC的最小值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．