Question

7．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足4${\;}^{{b}_{′}-1}$4${\;}^{{b}_{2}-1}$…4${\;}^{{b}_{n}-1}$=（a_n+1）${\;}^{{b}_{n}}$（n∈N），求证：{b_n}是等差数列；
（3）求证：1007$\frac{2}{3}$＜$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{2017}}$＜1008．

Answer 1

分析 （1）通过对S_n=2a_n-n，由n=1可得首项，n＞1，运用a_n=S_n-S_n-1，得到a_n=2a_n-1+1变形可得a_n+1=2（a_n-1+1），进而可得a_n+1=2ⁿ，从而可得结论；
（2）通过同底指数幂的运算性质，可得4（b1+b2+…+bn）-n=（2n）bn，两边取对数得2[b₁+b₂+…+b_n-n]=nb_n，进而2[b₁+b₂+…+b_n+1-（n+1）]=（n+1）b_n+1，两式相减并整理得：（n-1）b_n+1-nb_n+2=0，进而nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0，再两式相减即得结论；
（3）通过$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$的前4项的和，以及后面的项和关系，以及$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$＜$\frac{1}{2}$，累加即可得证．

解答 （1）解：由S_n=2a_n-n，可得：
a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1；
当n＞1时，S_n-1=2a_n-1-（n-1），
两式相减可得，a_n=2a_n-2a_n-1-1，
即为a_n=2a_n-1+1，
即a_n+1=2（a_n-1+1），
∴数列{a_n+1}是公比为2的等比数列，
又∵a₁=1，∴1+a₁=2，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ-1；
（2）证明：∵4^b₁-1•4^b₂-1•4^b₃-1…4^b_n-1=（a_n+1）^b_n，
∴4^{（b₁+b₂+…+b_n）-n}=（2ⁿ）^b_n，
两边取对数，得：log₂4^{（b₁+b₂+…+b_n）-n}=log₂（2ⁿ）^b_n，
∴2（b₁+b₂+…+b_n）-2n=nb_n，
即2[b₁+b₂+…+b_n-n]=nb_n，
2[b₁+b₂+…+b_n+1-（n+1）]=（n+1）b_n+1，
两式相减得：b_n+1-1=$\frac{n+1}{2}$b_n+1-$\frac{n}{2}$b_n，
整理得：（n-1）b_n+1-nb_n+2=0，
∴nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0，
两式相减得：nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，
∴b_n+2-2b_n+1+b_n=0，
即b_n+2+b_n=2b_n+1，
∴数列{b_n}是等差数列；
（3）证明：由1.7＜$\frac{1}{3}$+$\frac{3}{7}$+$\frac{7}{15}$+$\frac{15}{31}$＜1.712，
而$\frac{31}{63}$，$\frac{63}{127}$，…，$\frac{{2}^{2016}-1}{{2}^{2017}-1}$与$\frac{1}{2}$非常接近，
其和非常接近1006，
即有$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{2017}}$＞1007$\frac{2}{3}$；
由$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{n+1}-2-{2}^{n+1}+1}{2（{2}^{n+1}-1）}$
=-$\frac{1}{2（{2}^{n+1}-1）}$＜0，即有$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$＜$\frac{1}{2}$，
即有$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{2017}}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$•2016=1008．
综上可得1007$\frac{2}{3}$＜$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{2017}}$＜1008．

点评 本题考查利用数列的递推公式构造等比数列求解通项公式，利用数列的递推公式转化数列的和与项之间的关系，裂项求解数列的和的应用，以及数列不等式的证明，注意运用放缩法，注意解题方法的积累，属于中档题．