Question

4．已知数列{a_n}为公差不为零的等差数列，S₆=60，且满足$a_6^2={a_1}•{a_{21}}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足${b_{n+1}}-{b_n}={a_n}（n∈{N^*}）$，且b₁=3，求数列$\{\frac{1}{b_n}\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过设等差数列{a_n}的公差为d，利用S₆=60、$a_6^2={a_1}•{a_{21}}$计算可知首项、公差，进而可得结论；
（2）通过b_n+1-b_n=a_n可知b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*），利用b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁计算可知当n≥2时b_n=n（n+2），验证b₁=3也适合，裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则$\left\{\begin{array}{l}6{a_1}+15d=60\\{a_1}（{a_1}+20d）={（{a_1}+5d）^2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=5}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=2n+3；
（2）由b_n+1-b_n=a_n，∴b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*），
当n≥2时，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=a_n-1+a_n-2+…+a₁+b₁
=（n-1）（n-2+5）+3
=n（n+2），
又∵b₁=3也适合，
∴b_n=n（n+2），$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）=\frac{1}{2}（\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）=\frac{{3{n^2}+5n}}{4（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．