Question

14．已知符号函数sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，f（x）=x²-2x，则函数F（x）=sgn[f（x）]-f（x）的零点个数为5．

Answer 1

分析 利用符号函数求出F（x）的解析式，然后求解函数的零点即可得到结果．

解答 解：符号函数sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，f（x）=x²-2x，
则函数F（x）=sgn[f（x）]-f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+1，x∈（-∞，0）∪（2，+∞）}\\{-{x}^{2}+2x，x=0或x=2}\\{-{x}^{2}+2x-1，x∈（0，2）}\end{array}\right.$，
当x∈（-∞，0）∪（2，+∞）时，-x²+2x+1=0，解得x=$\sqrt{2}+1$或x=1-$\sqrt{2}$满足题意．
当x=0或x=2时，-x²+2x=0，x=0或x=2是函数的零点．
当x∈（0，2）时，-x²+2x-1=0，解得x=1满足题意．
所以函数的零点个数是5．
故答案为：5．

点评 本题考查新函数的应用，函数的零点个数的求法，考查分析问题解决问题的能力．