Question

1．已知曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ，以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+at}\\{y=1+t}\end{array}\right.$ （t为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）直线l与曲线C交于B，D两点，当|BD|取到最小值时，求a的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ，即ρ²=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+at}\\{y=1+t}\end{array}\right.$ （t为参数），消去参数t可得普通方程．
（2）由直线l经过定点P（-1，1），此点在圆的内部，因此当CP⊥l时，|BD|取到最小值，利用k_CP•k_l=-1，解得k_l，即可得出．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ，即ρ²=6ρsinθ，化为直角坐标方程：x²+y²=6y，配方为：x²+（y-3）²=9，圆心C（0，3），半径r=3．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+at}\\{y=1+t}\end{array}\right.$ （t为参数），消去参数t可得：x-ay+a+1=0．
（2）由直线l经过定点P（-1，1），此点在圆的内部，
因此当CP⊥l时，|BD|取到最小值，则k_CP•k_l=$\frac{1-3}{-1-0}$×k_l=-1，解得k_l=-$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{a}$=-$\frac{1}{2}$，解得a=-2．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为普通方程、相互垂直的直线斜率之间的关系、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．