Question

14．已知函数f（x）=|x+1|+m|x-1|．
（Ⅰ）当m=2时，求不等式f（x）＜4的解集；
（Ⅱ）若m＜0，f（x）≥2m，求m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当m=2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-3x，x＜-1}\\{3-x，-1≤x≤1}\\{3x-1，x＞1}\end{array}\right.$，作出图象，结合图象由f（x）的单调性及f（$\frac{5}{3}$）=f（-1）=4，能求出f（x）＜4的解集．
（Ⅱ）由f（x）≥2m得|x+1|≥m （2-|x-1|），从而-$\frac{1}{m}$|x+1|≥|x-1|-2，在同一直角坐标系中画出y=|x-1|-2及y=-$\frac{1}{m}$|x+1|的图象，根据图象性质能求出m的最小值．

解答 解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-3x，x＜-1}\\{3-x，-1≤x≤1}\\{3x-1，x＞1}\end{array}\right.$，
作出图象，得：

结合图象由f（x）的单调性及f（$\frac{5}{3}$）=f（-1）=4，
得f（x）＜4的解集为{x|-1＜x＜$\frac{5}{3}$}．…（5分）
（Ⅱ）由f（x）≥2m得|x+1|≥m （2-|x-1|），
∵m＜0，∴-$\frac{1}{m}$|x+1|≥|x-1|-2，
在同一直角坐标系中画出y=|x-1|-2及y=-$\frac{1}{m}$|x+1|的图象，

根据图象性质可得-$\frac{1}{m}$≥1，即-1≤m＜0，
故m的最小值为-1．…（10分）

点评 本题考查不等式解集的求法，考查实数的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．