Question

6．已知圆C₁的方程为x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0．
（1）求当圆的面积最大时圆C₁的标准方程；
（2）求（1）中求得的圆C₁关于直线l：x-y+1=0对称的圆C₂的方程．

Answer 1

分析 （1）根据圆的面积最大时半径最大，写出圆C₁半径r的解析式，求出半径最大值以及对应的圆C₁的方程，再化为标准方程；
（2）求出圆C₁的圆心坐标关于直线l的对称点，即可写出对称圆圆C₂的方程．

解答 解：（1）圆C₁的面积最大，即圆的半径最大，
则圆C₁的半径为$r=\frac{1}{2}\sqrt{{D^2}+{E^2}-4F}=\frac{1}{2}\sqrt{-4{m^2}+8m+12}=\sqrt{-{m^2}+2m+3}$，
即$r=\sqrt{-{{（m-1）}^2}+4}$，
因此当m=1时圆C₁的半径最大，最大值为2，…（3分）
此时圆C₁的方程为x²+y²-4x+2y+1=0，
化为标准方程是（x-2）²+（y+1）²=4；…（6分）
（2）由（1）知圆C₁的圆心坐标是（2，-1），半径为2，设圆C₂的圆心为（a，b），
则C₁C₂的中点坐标为$（\frac{a+2}{2}，\frac{b-1}{2}）$，直线C₁C₂的斜率为${k_{{c_1}{c_2}}}=\frac{b+1}{a-2}$，…..（9分）
由题意，直线l垂直平分线段C₁C₂，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{a+2}{2}-\frac{b-1}{2}+1=0}\\{\frac{b+1}{a-2}=-1}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=3}\end{array}}\right.$；…（12分）
所以，所求圆C₂的方程为（x+2）²+（y-3）²=4．…（13分）

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了求点关于直线对称点的应用问题，是综合性题目．