Question

12．已知函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率为3，数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₅的值为（　　）

• A． $\frac{2012}{2013}$
• B． $\frac{2013}{2014}$
• C． $\frac{2014}{2015}$
• D． $\frac{2015}{2016}$

Answer 1

分析 由已知得f′（1）=2+b=3，从而b=1，进而$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，由此得到S_n=$\frac{n}{n+1}$，从而能求出S₂₀₁₅

解答 解：∵函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l的斜率为3，
∴f′（x）=2x+b，f′（1）=2+b=3，解得b=1，
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴S₂₀₁₅=$\frac{2015}{2016}$．
故选D．

点评 本题考查导数的几何意义和数列求和的方法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．