Question

2．已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0
（1）求函数f（x）的解析式
（2）当x∈[-3，2]时，求f（x）的最大值和最小值
（3）过点M（2，2）作曲线y=f（x）的切线l，求切线l的方程．

Answer 1

分析 （1）欲确定函数的表达式，先求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由函数图象过点（1，-2）及斜率列出方程求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；
（2）确定函数在[-3，-1]，[1，2]上单调递增，在[-1，1]上单调递减，即可求f（x）的最大值和最小值
（3）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先设切点坐标为（t，t³-3t），利用导数求出在x=t处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

解答 解：（1）f'（x）=3ax²+2bx-3．
根据题意，得f（1）=a+b-3=-2，f′（1）=3a+2b-3=0
解得a=1，b=0
所以f（x）=x³-3x．
（2）f'（x）=3x²-3，
∴函数在[-3，-1]，[1，2]上单调递增，在[-1，1]上单调递减，
∵f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，
∴f（x）的最大值是2，最小值是-18；
（3）∵f′（x）=3x²-3，
设切点坐标为（t，t³-3t），
则切线方程为y-（t³-3t）=3（t²-1）（x-t），
∵切线过点M（2，2），∴2-（t³-3t）=3（t²-1）（2-t），
化简得t³-3t²+4=0，∴t=-1或t=2．
∴切线的方程：y=2或9x-y-16=0．

点评 本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的极值、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．