Question

8．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}（{a+2}）{x^2}+x（{a∈R}）$
（1）当a=0时，记f（x）图象上动点P处的切线斜率为k，求k的最小值；
（2）设函数$g（x）=e-\frac{e^x}{x}$（e为自然对数的底数），若对?x＞0，f′（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到k=x²-2x+1≥0，从而求出k的最小值即可；
（2）设$g（x）=e-\frac{e^x}{x}$，得到函数的单调区间，得到g（x）≤g（1）=0，可得a≤0即可．

解答 解：（1）f'（x）=x²-（a+2）x+1
设P（x，y），由于a=0，
所以k=x²-2x+1≥0，
即k_min=0；
（2）设$g（x）=e-\frac{e^x}{x}$，
则$g'（x）=\frac{{{e^x}（{1-x}）}}{x^2}$，
易知g（x）在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，
所以g（x）≤g（1）=0，
由条件知f'（1）≥g（1），可得a≤0
当a≤0时，f'（x）=x²-（a+2）x+1=（x-1）²-ax≥（x-1）²≥0，
∴f'（x）≥g（x）对?x＞0成立，
综上，a≤0．

点评 本题考查了切线的斜率问题，考查函数的单调性，导数的应用，是一道中档题．