Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足${\overrightarrow{a}}^{2}$=1，${\overrightarrow{b}}^{2}$=2，且$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 45°
• D． 120°

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$=1，代入向量的夹角公式可得．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足${\overrightarrow{a}}^{2}$=1，${\overrightarrow{b}}^{2}$=2，且$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$=1，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为45°
故选：C．

点评 本题考查向量的夹角和数量积，属基础题．