Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，首项为1的等比数列{b_n}的公比为q，S₂=a₃=b₃，且a₁，a₃，b₂成等比数列．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，若2S_n-na_n=b+log_a（2T_n+1）对一切正整数n成立，求实数a，b的值．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,等差数列的前n项和,等比数列的前n项和

专题：计算题

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由S₂=a₃，得2a₁+d=a₁+2d，故有a₁=d．由a₃=b₃，得a1+2d=b1q2，故有3a1=q2．由a₁，a₃，b₄成等差数列，得a32=a1•b4，故有9a1=q3．由此能求出{a_n}和{b_n}的通项公式．
（2）由2Sn-nan=2×[3n+

n(n-1)

2

×3]-n•3n=3n，2Tn+1=2×

1×(1-3n)

1-3

+1=3n，知若2S_n-na_n=b+log_a（2T_n+1）对一切正整数n成立，则3n=b+nlog_a3，由此能求出实数a，b的值．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由S₂=a₃，得2a₁+d=a₁+2d，故有a₁=d．
由a₃=b₃，得a1+2d=b1q2，故有3a1=q2．①
由a₁，a₃，b₄成等差数列，得a32=a1•b4，故有9a1=q3．②
由①②解得a₁=3，q=3，
∴a_n=3+（n-1）•3=3n，bn=3n-1．
（2）∵2Sn-nan=2×[3n+

n(n-1)

2

×3]-n•3n=3n，
2Tn+1=2×

1×(1-3n)

1-3

+1=3n，
若2S_n-na_n=b+log_a（2T_n+1）对一切正整数n成立，
则3n=b+nlog_a3，
∴

loga3=3 b=0

，解得a=

3	3

，b=0．

点评：本题考查等差数列和等比数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，尤其是恒成立问题的转化．