Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=n²，如果P_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，则

lim

n→∞

Pn的值为（　　）

• A、

  1

  3

• B、-

  1

  3

• C、

  1

  2

• D、-

  1

  2

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：利用公式法先求得a_n=2n-1．再求得

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂项法求得p_n，即可得出结论．

解答： 解：∵S_n=n²，
∴a₁=s₁=1，
n≥2时，a_n=s_n-s_n+1=n²-（n-1）²=2n-1，对n=1时也成立，
∴a_n=2n-1．
∴

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴P_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

1

2

-

1

4n+2

，
∴

lim

n→∞

Pn=

lim

n→∞

（

1

2

-

1

4n+2

）=

1

2

．
故选C．

点评：本题主要考查利用公式法求数列的通项公式及利用裂项相消法求数列的和问题，属于基础题型，应熟练掌握．