题目内容
已知
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．
（1）求证：
+
与
-
互相垂直；
（2）若k
+
与
-k
的长度相等，求β-α的值（k为非零的常数）．
| a |
| b |
（1）求证：
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）若k
| a |
| b |
| a |
| b |
分析：（1）根据已知中向量
，
的坐标，分别求出向量
+
与
-
的坐标，进而根据向量数量积公式及同角三角函数的平方关系，可证得
+
与
-
互相垂直；
（2）方法一：分别求出k
+
与
-k
的坐标，代入向量模的公式，求出k
+
与
-k
的模，进而可得cos（β-α）=0，结合已知中0＜α＜β＜π，可得答案．
方法二：由|k
+
|=|
-k
|得：|k
+
|2=|
-k
|2，即（k
+
）2=（
-k
）2，展开后根据两角差的余弦公式，可得cos（β-α）=0，结合已知中0＜α＜β＜π，可得答案．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）方法一：分别求出k
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
方法二：由|k
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：证明：（1）由题意得：
+
=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）
-
=（cosα-cosβ，sinα-sinβ）
∴（
+
）•（
-
）=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）
=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=1-1=0
∴
+
与
-
互相垂直．
解：（2）方法一：k
+
=（kcosα+cosβ，ksinα+sinβ），
-k
=（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ）
|k
+
|=
，|
-k
|=
由题意，得4cos（β-α）=0，
因为0＜α＜β＜π，
所以β-α=
．
方法二：由|k
+
|=|
-k
|得：|k
+
|2=|
-k
|2
即（k
+
）2=（
-k
）2，k2|
|2+2k
•
+|
|2=|
|2-2k
•
+k2|
|2
由于|
|=1，|
|=1
∴k2+2k
•
+1=1-2k
•
+k2，故
•
=0，
即（cosα，sinα）•（cosβ，sinβ）=0（10分）
即cosαcosβ+sinαsinβ=4cos （β-α）=0
因为0＜α＜β＜π，
所以β-α=
．
| a |
| b |
| a |
| b |
∴（
| a |
| b |
| a |
| b |
=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=1-1=0
∴
| a |
| b |
| a |
| b |
解：（2）方法一：k
| a |
| b |
| a |
| b |
|k
| a |
| b |
| k2+2kcos(β-α)+1 |
| a |
| b |
| k2-2kcos(β-α)+1 |
由题意，得4cos（β-α）=0，
因为0＜α＜β＜π，
所以β-α=
| π |
| 2 |
方法二：由|k
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
即（k
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
由于|
| a |
| b |
∴k2+2k
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
即（cosα，sinα）•（cosβ，sinβ）=0（10分）
即cosαcosβ+sinαsinβ=4cos （β-α）=0
因为0＜α＜β＜π，
所以β-α=
| π |
| 2 |
点评：本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，平面向量数量积的坐标表示，模，夹角，熟练掌握平面向量数量积的坐标公式，是解答的关键．
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