题目内容
已知
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．
（1）求证：
+
与
-
互相垂直；
（2）若k
+
与k
-
大小相等，求β-α（k≠0）．
| a |
| b |
（1）求证：
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）若k
| a |
| b |
| a |
| b |
分析：（1）由模长公式可得|
|=|
|=1，而（
+
）•（
-
）=|
|2-|
|2=0，可判垂直；
（2）由k
+
与k
-
大小相等，可得（k
+
）2=（k
-
）2，化简可得
•
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（β-α）=0，结合角的范围可得其值．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）由k
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：解：（1）∵
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），
∴|
|=
=1，同理|
|=1，
∴（
+
）•（
-
）=|
|2-|
|2=1-1=0
∴
+
与
-
互相垂直；
（2）∵k
+
与k
-
大小相等，
∴（k
+
）2=（k
-
）2，
展开化简可得4k
•
=0，
∴
•
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（β-α）=0，
又∵0＜α＜β＜π，∴β-α=
| a |
| b |
∴|
| a |
| cos2α+sin2α |
| b |
∴（
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）∵k
| a |
| b |
| a |
| b |
∴（k
| a |
| b |
| a |
| b |
展开化简可得4k
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
又∵0＜α＜β＜π，∴β-α=
| π |
| 2 |
点评：本题考查数量积判断两向量的垂直关系，涉及向量的模长相等，属基础题．
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