Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ）．
（1）若α-β=

7π

6

，求

a

•

b

的值；
（2）若

a

•

b

=

4

5

，α=

π

8

，且α-β∈(-

π

2

，0)，求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）根据cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ可得

a

•

b

=cos（α-β），代入角求解．
（2）利用α+β=2α-（α-β）=

π

4

-（α-β），根据α-β∈(-

π

2

，0)，由cos（α-β）求出sin（α-β），从而求出tan（α-β），再求tan（α+β）的值．

解答：解：（1）∵

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
又cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，
∴

a

•

b

=cos(α-β)=cos

7π

6

=-

3

2

．
（2）∵

a

•

b

=

4

5

，∴cos(α-β)=

4

5

，
∵α-β∈(-

π

2

，0)，
∴sin(α-β)=-

3

5

，tan(α-β)=-

3

4

，
∵α=

π

8

，
∴α+β=2α-（α-β）=

π

4

-（α-β），
∴tan（α+β）=tan[

π

4

-（α-β）]=

1-tan(α-β)

1+tan(α-β)

=7．

点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查两角差的余弦公式，两角和的正切公式，计算求值时要细心．