题目内容
（2005•朝阳区一模）已知
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜π
（Ⅰ）求|
|的值；
（Ⅱ）求证：
+
与
-
互相垂直；
（Ⅲ）设|
+
|=|
-
|，求β-α的值．
| a |
| b |
（Ⅰ）求|
| a |
（Ⅱ）求证：
| a |
| b |
| a |
| b |
（Ⅲ）设|
| a |
| b |
| a |
| b |
分析：（Ⅰ）由
=（cosα，sinα），能求出|
|的值．
（Ⅱ）由（
+
）•（
-
）=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）=0，能证明（
+
）⊥（
-
）．
（Ⅲ）由|
+
|=|
-
|，则
•
=0，能够求出β-α=
．
| a |
| a |
（Ⅱ）由（
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（Ⅲ）由|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| π |
| 2 |
解答：解：（I）解：|
|=
=1（3分）
（Ⅱ）证明：∵（
+
）•（
-
）=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）（6分）
=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0，
∴8分）
（Ⅲ）解：∵
+
=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），
-
=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），（10分）
∴|
+
|=
=
，（12分）
同理|
-
|=
=
∵|
+
|=|
-
|，∴2cos（β-α）=-2cos（β-α）
∴cos（β-α）=0
∵0＜α＜β＜π，∴0＜β-α＜π，∴β-α=
（14分）
| a |
| cos2α+sin2α |
（Ⅱ）证明：∵（
| a |
| b |
| a |
| b |
=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0，
∴8分）
（Ⅲ）解：∵
| a |
| b |
| a |
| b |
∴|
| a |
| b |
| (cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2 |
| 1+1+2cos(β-α) |
同理|
| a |
| b |
| (cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2 |
| 2-2cos(β-α) |
∵|
| a |
| b |
| a |
| b |
∴cos（β-α）=0
∵0＜α＜β＜π，∴0＜β-α＜π，∴β-α=
| π |
| 2 |
点评：本题考查向量的模的求法，求证：（
+
）与（
-
）互相垂直和求β-α的值．综合性强，较繁琐，容易出错．解题时要认真审题，注意三角函数恒等变换的灵活运用．
| a |
| b |
| a |
| b |
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