Question

设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）．
（I）求椭圆的方程；
（II）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．

Answer 1

（I）椭圆的方程为；
（II）当时，，故

试题分析：（I）由题设知，，， 由，
得．解得．所以椭圆的方程为
（II）方法1：设点，因为的中点坐标为，
所以所以

．
因为点在圆上，所以，即．
因为点在椭圆上，所以，即．
故．
因为，所以当时，
法2：由题知圆N: 的圆心为N；则

从而求的最大值转化为求的最大值；
因为点在椭圆上，设点所以，即．
又因为,所以；
因为，所以当时，，故
方法3：①若直线的斜率存在，设的方程为，
由，解得．因为是椭圆上的任一点，设点，
所以，即．所以
故．
因为，所以当时，，故
②若直线EF的斜率不存在，此时EF的方程为； 由，解得或. 
不妨设E(0，3),F(0，1)； 因为点在椭圆上，设点所以，即
所以，故
因为，所以当时，，故
点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，注意明确焦点轴和a,b,c的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）注意讨论直线的斜率存在、不存在两种情况，易于忽视。熟练进行平面向量的坐标运算，是正确解题的关键。