Question

已知中心在坐标原点焦点在轴上的椭圆C,其长轴长等于4,离心率为．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若点(0,1), 问是否存在直线与椭圆交于两点,且？若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由.

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ) 存在这样的直线,其斜率的取值范围是

试题分析：(Ⅰ)由题意可设椭圆的标准方程为            1分
则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2．                 2分
又,所以,                       3分
又由于                          4分
所求椭圆C的标准方程为                   5分
(Ⅱ)假设存在这样的直线,设,的中点为
因为所以所以  ①
(i)其中若时,则,显然直线符合题意;
(ii)下面仅考虑情形:
由,得,
,得 ②            7分
则．               8分
代入①式得,即,解得               11分
代入②式得,得．
综上(i)(ii)可知,存在这样的直线,其斜率的取值范围是          13分
点评：直线与椭圆相交时常将直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理找到根与系数的关系，进而将转化为点的坐标表示，其中要注意条件不要忽略