Question

已知椭圆过点，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与轴正半轴、轴分别交于点，与椭圆分别交于点，各点均不重合，且满足，． 当时，试证明直线过定点．过定点（1，0）

Answer 1

（1）
（2）结合向量关系式，以及韦达定理，来分析直线的方程，进而得到定点坐标。

试题分析：解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为                        1分
由题意知，且又
所以椭圆方程为.　　　　　　　　                           4分
（Ⅱ）由题意设的方程为       5分
由知6分
同理由知
∵，∴　　　（1）　　　         7分
联立得，                          8分
只需　　  （2）
且有　　　　 （3）　　　　                 9分
把（3）代入（1）得且满足（2），              10分
依题意，，故
从而的方程为，即直线过定点（1，0）                              12分
点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，代数法来设而不求的解题思想是解析几何的本质，属于中档题。