Question

如图，已知F₁、F₂分别为椭圆C₁：的上、下焦点，其中F₁也是抛物线C₂：的焦点，点A是曲线C₁，C₂在第二象限的交点，且

（Ⅰ）求椭圆₁的方程；
（Ⅱ）已知P是椭圆C₁上的动点，MN是圆C：的直径，求的最大值和最小值.

Answer 1

（Ⅰ）；
（Ⅱ）当时，，当时，。

试题分析：（Ⅰ）抛物线C₂的焦点F₁（0，1），准线，易得 ∴ 
∴  （正值舍去）∴              3分
又 ………①   …………②            5分
联立①②得∴椭圆C₁的方程为              6分
（Ⅱ）圆C：    ∴圆心C（-2，0），半径
设P（）              7分
法一：               9分


        11分
当时，           12分
当时，       13分
法二：设M（），则N（）            8分

      
           11分
当时，           12分
当时，         13分
法三：              8分
     
∵C是MN中点，∴          9分
∴               10分
∴
            11分
当时，              12分
当时，             13分
点评：中档题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，a,b,c,e的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）利用平面向量的坐标运算，将问题转化成三角函数问题，确定最值。