Question

如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点，所爬的最短路程为。

（1）求证：；

（2）求AB的长度；

（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角的大小为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：

解法一：

（1）连接，由长方体的性质可知：

AE⊥平面，

∴是在平面内的射影。

又∵，∴四边形是正方形，∴，

∴（三垂线定理）。

（2）设，∵四边形是正方形，

∴ 小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点可能有两种途径：

如图a的最短路程为

如图b的最短路程为

∵

∴

∴，∴

（3）假设存在点E，连接DE，设，过点D在

平面ABCD内作DH⊥EC，连接，则为二面角的平面角，

∴；

∴

在内，，而

即，解得。

即存在点E，且到点B的距离为时，二面角的大小为。

解法二：

（1）如图c建立空间坐标系，设

则

∴

∴。

（2）同解法一。

（3）假设存在点E，平面DEC的法向量

设平面的法向量，则

，即

       解得，∴

       由题意得，

解得或（舍去）

即当点E离B为时，二面角的大小为。