Question

若（2-x）ⁿ展开式中奇数二项式系数和为8192，则展开式中系数最大的项为    ．

Answer 1

【答案】分析：利用二项式奇数项的系数和公式列出方程求得n值，利用二项展开式的通项公式求得第r+1项，据系数的绝对值的最大值大于等于它相邻项的系数绝对值解得r，求出展开式中系数最大的项．
解答：解：2^n-1=8192得n=14，则T_r+1=C₁₄^r2^14-r（-x）^r，由于（2-x）¹⁴展开式中各项系数正负相间，
故先求其展开式中系数绝对值最大的项，记为第r+1项，于是有：
C₁₄^r2^14-r≥C₁₄^r-12^15-r①，C₁₄^r2^14-r≥C₁₄^r+12^13-r②；由①②解得：4≤r≤5；又r=5时系数为负，
∴r=4，即展开式中系数最大的项为C₁₄⁴2¹⁰x⁴．
故答案为C₁₄⁴2¹⁰x⁴
点评：本题考查二项式系数和公式；二项展开式的通项公式；及系数最大的项的求法．