题目内容
若
=12
（n∈N），且(2-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，求：
（1）n的值
（2）a1+a2+…+an
（3）（2-x）n的展开式中所有偶数项系数的和．
| A | n 9 |
| A | n-2 9 |
（1）n的值
（2）a1+a2+…+an
（3）（2-x）n的展开式中所有偶数项系数的和．
分析：（1）由题意可把原方程变形为
=12
，可解出n的值．再由n满足：
，
进一步确定n的值．
（2）令x=1得a0+a1+a2+…an=1．令x=0得a0=27=128，从而求得a1+a2+…+an的值．
（3）所有偶数项系数之和即为：a1+a3+a5+a7，令x=1得a0+a1+a2+…an=1，令x=-1，可得a0-a1+a2-…-a7=37，联立两式解出偶数项的系数和．
| 9! |
| (9-n)! |
| 9! |
| (11-n)! |
|
进一步确定n的值．
（2）令x=1得a0+a1+a2+…an=1．令x=0得a0=27=128，从而求得a1+a2+…+an的值．
（3）所有偶数项系数之和即为：a1+a3+a5+a7，令x=1得a0+a1+a2+…an=1，令x=-1，可得a0-a1+a2-…-a7=37，联立两式解出偶数项的系数和．
解答：解：（1）由题意可把原方程变形为
=12
，可解出n=7或n=14．
又因为n满足：
所以2≤n≤9，∴n=7．…（4分）
（2）令x=1得a0+a1+a2+…an=1．
令x=0得a0=27=128，∴a1+a2+…+an=-127．…（8分）
（3）所有偶数项系数之和即为：a1+a3+a5+a7
令x=1得a0+a1+a2+…an=1．
令x=-1得a0-a1+a2-…-a7=37
联立两式解出偶数项的系数和为 a1+a3+a5+a7=
=-1093．…（12分）
| 9! |
| (9-n)! |
| 9! |
| (11-n)! |
又因为n满足：
|
（2）令x=1得a0+a1+a2+…an=1．
令x=0得a0=27=128，∴a1+a2+…+an=-127．…（8分）
（3）所有偶数项系数之和即为：a1+a3+a5+a7
令x=1得a0+a1+a2+…an=1．
令x=-1得a0-a1+a2-…-a7=37
联立两式解出偶数项的系数和为 a1+a3+a5+a7=
| 1-37 |
| 2 |
点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．
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