Question

已知f(x)=(x

1

k

+x)n，且正整数n满足C_n³=C_n⁵，A={0，1，2，…n}
（1）求n；
（2）若i、j∈A，是否存在j，当i≥j时，C_nⁱ≤C_n^j恒成立．若存在，求出最小的j；若不存在，试说明理由．
（3）k∈A，若f（x）的展开式有且只有三个有理项，求k．

Answer 1

分析：（1）根据题意，结合二项式系数的性质C_n^m=C_n^n-m，易得答案；
（2）由（1）的结论，n=8，结合二项式系数的性质，可得其二项式系数中最大的为C₈⁴，由题意，可得i≥j≥4，即可得答案；
（3）写出）f(x)=(x

1

k

+x)8展开式通项，依题意，只须8-r是k的整数倍的r有且只有三个，分别令k=1，2，3…8，代入通项中，检验可得答案．

解答：解：（1）根据题意中C_n³=C_n⁵，结合C_n^m=C_n^n-m，
则n=8
（2）由（1）的结论，n=8，
当n=8时，C₈^m（m=0、1、2…、8）中，C₈⁴最大，
即i≥j≥4时，满足C_nⁱ≤C_n^j恒成立，
则最小的j=4；
（3）f(x)=(x

1

k

+x)8展开式通项为Tr+1=

C

r 8

(x

1

k

)8-r•xr=

C

r 8

x

8-r

k

+r
依题意，只须8-r是k的整数倍的r有且只有三个，
分别令k=1，2，3…8，代入通项中，
检验得k=3或4；
故k=3或4．

点评：本题考查二项式定理的应用，关键要灵活应用二项式系数的性质．