题目内容
如图，设M点是圆C：x2+（y-4）2=4上的动点，过点M作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，切线MA，MB分别交x轴于D，E两点．（1）求四边形MAOB面积的最小值；
（2）是否存在点M，使得线段DE被圆C在点M处的切线平分？若存在，求出点M的纵坐标；若不存在，说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）当M在y轴上时，四边形MAOB面积取最小值，由此能求出四边形MAOB面积的最小值为
．
（2）设存在点M（x0，y0）满足条件设过点M且与圆O相切的直线方程为：y-y0=k（x-x0），由题意得，
=1，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，由此利用韦达定理、切线方程，结合已知条件能求出点M的纵坐标．
| 3 |
（2）设存在点M（x0，y0）满足条件设过点M且与圆O相切的直线方程为：y-y0=k（x-x0），由题意得，
| |-kx0+y0| | ||
|
解答：
解：（1）当M在y轴上时，四边形MAOB面积的最小值．
此时，M（（0，2），|MO|=2，|OA|=|OB|=1，
∴|MA|+|MB|=
=
，
∴（S四边形MAOB）min=2（
×|MA|×|OA|）=
．
∴四边形MAOB面积的最小值为
．
（2）设存在点M（x0，y0）满足条件
设过点M且与圆O相切的直线方程为：y-y0=k（x-x0）
则由题意得，
=1，
化简得：(x02-1)k2-2x0y0k+y02-1=0
设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，
则k1+k2=
，k1k2=
圆C在点M处的切线方程为y-y0=
(x-x0)
令y=0，得切线与x轴的交点坐标为(
+x0，0)
又得D，E的坐标分别为(
+x0，0)，(
+x0，0)
由题意知，2(
+x0)=
+x0+
+x0
用韦达定理代入可得，
=
，
与x02+(y0-4)2=4联立，得y0=
，
∴点M的纵坐标为
．
此时，M（（0，2），|MO|=2，|OA|=|OB|=1，
∴|MA|+|MB|=
| 22-12 |
| 3 |
∴（S四边形MAOB）min=2（
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∴四边形MAOB面积的最小值为
| 3 |
．（2）设存在点M（x0，y0）满足条件
设过点M且与圆O相切的直线方程为：y-y0=k（x-x0）
则由题意得，
| |-kx0+y0| | ||
|
化简得：(x02-1)k2-2x0y0k+y02-1=0
设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，
则k1+k2=
| 2x0y0 |
| x02-1 |
| y02-1 |
| x02-1 |
圆C在点M处的切线方程为y-y0=
| -x0 |
| y0-4 |
令y=0，得切线与x轴的交点坐标为(
| y02-4y0 |
| x0 |
又得D，E的坐标分别为(
| -y0 |
| k1 |
| -y0 |
| k2 |
由题意知，2(
| y02-4y0 |
| x0 |
| -y0 |
| k1 |
| -y0 |
| k2 |
用韦达定理代入可得，
| y 0-4 |
| x0 |
| -x0y0 |
| y02-1 |
与x02+(y0-4)2=4联立，得y0=
13+
| ||
| 8 |
∴点M的纵坐标为
13+
| ||
| 8 |
点评：本题考查四边形的面积的最小值的求法，考查点的纵坐标的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
练习册系列答案
开心试卷期末冲刺100分系列答案
双基同步导航训练系列答案
相关题目