Question

如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上任一点．

（Ⅰ）求证：无论E点取在何处恒有；
（Ⅱ）设，当平面EDC平面SBC时，求的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角的大小．

Answer 1

(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).

试题分析：(Ⅰ)连接，过点作，交于点，先证明，再由得到，依据直线与平面垂直的判定定理可知，，从而由直线与平面垂直的性质定理可得到；(Ⅱ) 分别以，，所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，根据，求得，由，以及，，分别取平面和平面的法向量和，则由已知条件“”可得，从而解出的值；(Ⅲ)当时，，分别求出平面和平面的一个法向量，求出它们的法向量的夹角，根据二面角是一个钝角，那么法向量的夹角或夹角的补角即是所求的二面角.
试题解析：(Ⅰ)连接，过点作，交于点，如图：

∵，∴，
又∵，∴，
∴，又，∴，
∵，∴，
∵，∴.
(Ⅱ)分别以，，所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图：

设，则，
∵，，，，
所以，，
取平面的一个法向量，
∵，，取平面的一个法向量，
∴.
（Ⅲ）当时，，，，，，
取平面的一个法向量，
取平面的一个法向量，则，
∴二面角为.