Question

如图，在三棱锥中，平面，，为侧棱上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示.

（1）证明：平面；
（2）在的平分线上确定一点，使得平面，并求此时的长.

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

试题分析：试题分析：（1）先利用三视图将几何体进行还原，证明平面，要证明垂直于平面内的两条相交直线，由正视图可以知道为等腰三角形，且为底边的中点，利用三线合一可以得到，再利用，结合直线与平面垂直的判定定理证明平面，于是得到，最终利用直线与平面垂直的判定定理得到平面；（2）注意到点为的中点，因此可以以、为邻边构造平行四边形，连接交于点，利用中位线证明，再结合直线与平面平行的判定定理可以得到平面，最终利用勾股定理求的长度.
试题解析：（1）因为平面，所以，
又，所以平面，而，所以．
由三视图得，在中，，为中点，
所以，又，平面
（2）如图取的中点，连接并延长至，

使得，点即为所求．
因为为中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
连接，，四边形的对角线互相平分，
所以为平行四边形，所以，
又平面，所以在直角中，
得．