Question

4．已知二次函数f（x）=ax²+2x+b的值域为[0，+∞），且a＞b，则$\frac{a-b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由题意可得判别式为0，即为4-4ab=0，即ab=1，又$\frac{a-b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{a-b}{（a-b）^{2}+2ab}$=$\frac{a-b}{（a-b）^{2}+2}$=$\frac{1}{（a-b）+\frac{2}{a-b}}$，再由基本不等式计算即可得到最大值．

解答 解：二次函数f（x）=ax²+2x+b的值域为[0，+∞），
可得判别式为0，即为4-4ab=0，
即ab=1，（a＞b＞0），
则$\frac{a-b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{a-b}{（a-b）^{2}+2ab}$=$\frac{a-b}{（a-b）^{2}+2}$
=$\frac{1}{（a-b）+\frac{2}{a-b}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{（a-b）•\frac{2}{a-b}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
当且仅当a-b=$\sqrt{2}$，即a=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，b=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$时，
取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查二次函数的性质，同时考查基本不等式的运用，属于中档题．